题目

题型：不详难度：来源：

在锐角△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且

3

a=2csinA．
（1）确定∠C的大小；
（2）若c=

3

，求△ABC周长的取值范围．

答案

（1）由

3

a=2csinA变形得：

a

c

=

2sinA

3

，
又正弦定理得：

a

c

=

sinA

sinC

，
∴

2sinA

3

=

sinA

sinC

，
∵sinA≠0，∴sinC=

3

2

，
∵△ABC是锐角三角形，
∴∠C=

π

3

；
（2）∵c=

3

，sinC=

3

2

，
∴由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

3

3 2

=2，
即a=2sinA，b=2sinB，又A+B=π-C=

2π

3

，即B=

2π

3

-A，
∴a+b+c=2（sinA+sinB）+

3

=2[sinA+sin（

2π

3

-A）]+

3

=2（sinA+sin

2π

3

cosA-cos

2π

3

sinA）+

3

=3sinA+

3

cosA+

3

=2

3

（sinAcos

π

6

+cosAsin

π

6

）+

3

=2

3

sin（A+

π

6

）+

3

，
∵△ABC是锐角三角形，
∴

π

6

＜∠A＜

π

2

，
∴

3

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，
则△ABC周长的取值范围是（3+

3

，3

3

]．