题目

题型：不详难度：来源：

已知向量

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，x∈[0，

π

2

]．
（1）求

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（2）求函数f（x）=

a

•

b

-2|

a

+

b

|值域．

答案

（1）

a

•

b

=cos

3

2

x•cos

1

2

x-sin

3

2

x•sin

1

2

x=cos（

3

2

x+

1

2

x）=cos2x．
∵（

a

+

b

）²=（cos

3

2

x+cos

1

2

x）²+（sin

3

2

x-sin

1

2

x）²=2+2（cos

3

2

x•cos

1

2

x-sin

3

2

x•sin

1

2

x）
=2+2cos2x=2+2（2cos²x-1）=4cos²x
且x∈[0，

π

2

]
∴|

a

+

b

|=2cosx．
（2）由（1）知f（x）=

a

•

b

-2|

a

+

b

|=cos2x-4cosx
=2cos²x-4cosx-1=2（cosx-1）²-3
∵x∈[0，

π

2

]∴cosx∈[0，1]
∴函数f（x）=

a

•

b

-2|

a

+

b

|值域是[-3，-1]．