题目

题型：解答题难度：一般来源：成都一模

已知向量

.

m

=（

3

sin

x

4

，1），

.

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），f（x）=

.

m

•

.

n

．
（1）若f（x）=1，求cos（x+

π

3

）的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosC+

1

2

c=b，求函数f（B）的取值范围．

答案

（1）∵

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），
∴f（x）=

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，
又f（x）=1，
∴sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，（4分）
∴cos（x+

π

3

）=cos2（

x

2

+

π

6

）=1-2sin²（

x

2

+

π

6

）=

1

2

；（6分）
（2）∵cosC=

a2+b2-c2

2ab

，acosC+

1

2

c=b，
∴a•

a2+b2-c2

2ab

+

1

2

c=b，即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
又∵A∈（0，π），∴A=

π

3

，（10分）
又∵0＜B＜

2π

3

，
∴

π

6

＜

B

2

+

π

6

＜

π

2

，
∴f（B）∈（1，

3

2

）．（12分）