题目

题型：解答题难度：一般来源：滨州一模

已知函数f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c=2

3

，f（C）=0，若向量

m

=（sinB，2）与向量

n

=（1，-sinA）垂直，求a，b的值．

答案

（Ⅰ）f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

（1+cos2x）-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1
=sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

-1=sin（2x-

π

6

）-1，…（4分）
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

（k∈Z）
∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）…（6分）
（Ⅱ）因为f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，所以sin（2C-

π

6

）=1
又∵-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，∴2C-

π

6

=

π

2

，解之得C=

π

3

…（8分）
∵向量

m

=（sinB，2）与向量

n

=（1，-sinA）垂直，
∴sinB-2sinA=0，即sinB=2sinA…（9分）
根据正弦定理得b=2a，再由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
得12=a²+4a²-4a²cos

π

3

=3a²…（11分）
解之得a=2，所以b=2a=4．…（12分）