题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=cos(-

x

2

)+sin(π-

x

2

)，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)=

2 10

5

，b=1，c=2，求△ABC的面积．

答案

（Ⅰ）∵f(x)=cos(-

x

2

)+sin(π-

x

2

)=cos

x

2

+sin

x

2

=

2

sin(

x

2

+

π

4

)
∴函数f（x）的最小正周期T=4π，
又由2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

4

≤2kπ+

π

2

，∴4kπ-

3π

2

≤x≤4kπ+

π

2

(k∈Z)
可得函数f（x）的单调递增区间为[4kπ-

3π

2

，4kπ+

π

2

](k∈Z)．…（6分）
（Ⅱ）解法一：由f(A)=

2 10

5

及（Ⅰ）可得sin(

A

2

+

π

4

)=

2 5

5

，
所以cos[2(

A

2

+

π

4

)]=1-2sin2(

A

2

+

π

4

)=-

3

5

，
即sinA=

3

5

，∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

5

．…（12分）
解法二：由f(A)=

2 10

5

及（Ⅰ）可得sin(

A

2

+

π

4

)=

2 5

5

，
即sin

A

2

+cos

A

2

=

2 10

5

，
∴(sin

A

2

+cos

A

2

)2=

8

5

，即sinA=

3

5

∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

5

．…（12分）