题目

题型：解答题难度：一般来源：天津

已知函数f(x)=-

2

sin(2x+

π

4

)+6sinxcosx-2cos2x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

答案

（I）∵sinxcosx=

1

2

sin2x，cos²x=

1

2

（1+cos2x）
∴f（x）=-

2

sin（2x+

π

4

）+6sinxcosx-2cos²x+1=-sin2x-cos2x+3sin2x-（1+cos2x）+1
=2sin2x-2cos2x=2

2

sin（2x-

π

4

）
因此，f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（II）∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

∴当x=0时，sin（2x-

π

4

）取得最小值-

2

2

；当x=

3π

8

时，sin（2x-

π

4

）取得最大值1
由此可得，f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值为f（

3π

8

）=2

2

；最小值为f（0）=-2．