题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知

a

=(sinx，

3

cosx），

b

=（cosx，cosx），f（x）=

a

•

b

．
（1）若

a

⊥

b

，求x的取值集合；（2）求函数f（x）的周期及增区间．

答案

（1）∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=0，
而

a

•

b

=sinxcosx+

3

cos²x=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，
∴sin（2x+

π

3

）+

3

2

=0，即sin（2x+

π

3

）=-

3

2

，
∴2x+

π

3

=2kπ-

2π

3

或2x+

π

3

=2kπ-

π

3

（k∈Z），
解得：x=kπ-

π

2

或x=kπ-

π

3

（k∈Z），
∴x的取值集合为{x|x=kπ-

π

2

或x=kπ-

π

3

（k∈Z）}；
（2）∵f（x）=

a

•

b

=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，∴f（x）的周期T=

2π

2

=π，
∵y=sinx的增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z），
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，解得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，
∴f（x）的增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）．