题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx+1(x∈R)，
求：（1）函数f（x）的最小正周期、最值及取得最值时相应的x值；
    （2）该函数的图象可由函数y=sinx的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得？

答案

∵f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx+1(x∈R)，
=

cos2x+1

4

+

3 sin2x

4

+1
=

cos2x+ 3 sin2x

4

+

5

4

=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

．
（1）T=

2π

2

=π；
当 2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，（k∈Z）时，
即 x∈{x|x=kπ+

π

6

，（k∈Z）}时，
∴f（x）max=

7

4

．
当 2x+

π

6

=2kπ-

π

2

，（k∈Z）时，
即 x∈{x|x=kπ-

2π

3

，（k∈Z）}时，
∴f（x）_min=

3

4

．
（2）将函数y=sinx的图象上每一个点的横坐标变为原来的

1

2

倍（纵坐标不变），再将图象向左平移

π

12

个单位长度，再将图象上每一个点的纵坐标变为原来的

1

2

倍（横坐标不变）；最后在整体向上平移

5

4

个单位即可得到函数f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx+1(x∈R)的图象．