题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

以知函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1，x∈R⁺），若x₁，x₂∈R⁺，判断

1

2

[f(x1)+f(x2)]与f(

x1+x2

2

)的大小，并加以证明．

答案

f（x₁）+f（x₂）=log_ax₁+log_ax₂=log_a（x₁x₂）
∵x₁，x₂∈R⁺，
∴x₁x₂≤(

x1+x2

2

)2（当且仅当x₁=x₂时取“=”号）．当a＞1时，有log_a（x₁x₂）≤log_a(

x1+x2

2

)2
∴

1

2

log_a（x₁x₂）≤log_a(

x1+x2

2

) ，

1

2

（log_ax₁+log_ax₂）≤log_a(

x1+x2

2

)，
即

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]≤f(

x1+x2

2

)（当且仅当x₁=x₂时取“=”号）当0＜a＜1时，有log_a（x₁x₂）≥log_a(

x1+x2

2

)2，
∴

1

2

（log_ax₁+log_ax₂）≥log_a(

x1+x2

2

)2，
即

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]≥f(

x1+x2

2

)
（当且仅当x₁=x₂时取“=”号）．