题目

题型：解答题难度：一般来源：宝山区一模

已知函数f（x）=1-2^-x（x∈R）．
（1）求y=f（x）的反函数y=f^-1（x）；
（2）求不等式2log₂（x+1）+f^-1（x）≥0的解集．

答案

（1）由y=1-2^-x得-x=log₂（1-y），即：x=-log₂（1-y），
又∵原函数的值域是{y|y＜1}，
∴函数y=1-2^-x（x∈R）的反函数是y=-log₂（1-x），（x＜-1）．
∴y=f^-1（x）=-log₂（1-x），（x＜-1）．…（6分）
（2）由2log₂（x+1）-log₂（1-x）≥0得（x+1）²≥1-x，（10分）
解得x≥0或x≤-3　　　　　　　　　　　　　　…（12分）
又因为定义域为{x|-1＜x＜1}，所以不等式的解集是{x|0≤x＜1}（14分）