题目

题型：解答题难度：一般来源：潍坊一模

设函数f(x)=

1

3

mx3+(4+m)x2，g(x)=alnx，其中a≠0．
（ I ）若函数y=g（x）图象恒过定点P，且点P在y=f（x）的图象上，求m的值；
（Ⅱ）当a=8时，设F（x）=f′（x）+g（x），讨论F（x）的单调性；
（Ⅲ）在（I）的条件下，设G(x)=

f(x)，x≤1 g(x)，x＞1

，曲线y=G（x）上是否存在两点P、Q，使△OPQ（O为原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且该三角形斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．

答案

（I）令lnx=0，则x=1，即函数y=g（x）的图象过定点P（1，0），
又点P在y=f（x）的图象上，所以f（1）=

1

3

m+（4+m）=0，
解得m=-3．
（II）F（x）=mx²+2（4+m）x+8lnx，定义域为（0，+∞），
F′（x）=2mx+（8+2m）+

8

x

=

2mx2+(8+2m)x+8

x

=

(2mx+8)(x+1)

x

．
∵x＞0，则x+1＞0，
∴当m≥0时，2mx+8＞0，F′（x）＞0，此时F（x）在（0，+∞）上单调递增，
当m＜0时，由F′（x）＞0得0＜x＜-

4

m

，F′（x）＜0，得x＞-

4

m

，
此时F（x）在（0，-

4

m

）上为增函数，在（-

4

m

，+∞）上为减函数，
综上，当m≥0时，F（x）在（0，+∞）上为增函数，
m＜0时，在（0，-

4

m

）上为增函数，在（-

4

m

，+∞）上为减函数．
（III）由条件（I）知G（x）=

-x3+x2，x≤1 alnx，x＞1

，
假设曲线y=G（x）上存在两点P、Q满足题意，则P、Q两点只能在y轴两侧，
设P（t，G（t））（t＞0），则Q（-t，t³+t²），
∵∠POQ是以O为直角顶点的直角三角形，
∴

OP

•

OQ

=0，∴-t²+G（t）（t³+t²）=0①．
（1）当0＜t≤1时，G（t）=-t³+t²，
此时方程①为-t²+（-t³+t²）（t³+t²）=0，化简得t⁴-t²+1=0，
此方程无解，满足条件的P、Q两点不存在．
（2）当t＞1时，G（t）=alnt，
方程①为：-t²+alnt•（t³+t²）=0，即

1

a

=（t+1）lnt，
设h（t）=（t+1）lnt（t＞1），则h′（t）=lnt+

1

t

+1，
当t＞1时，h′（t）＞0，即h（t）在（1，+∞）上为增函数，
∴h（t）的值域为（h（1），+∞）），即（0，+∞），
∴

1

a

＞0，∴a＞0．
综上所述，如果存在满足条件的P、Q，则a的取值范围是a＞0．