题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f（x）=2^{sin（2x+ϕ）+1}（-π＜ϕ＜0），y=f（x）的图象的一条对称轴是直线x=

π

8

.
（1）求ϕ；
（2）求函数y=f（x）的递减区间；
（3）试说明y=f（x）的图象可由y=2^sin2x的图象作怎样变换得到．

答案

（1）由题意知，函数图象的一条对称轴是x=

π

8

.，
∴sin(2×

π

8

+ϕ)=±1，即sin(

π

4

+ϕ)=±1
解得，ϕ+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，则ϕ=kπ+

π

4

(k∈Z)
∵-π＜kπ+

π

4

＜0，解得-

5

4

＜k＜-

1

4

，
∴k=-1，即ϕ=-

3π

4

（5分）
（2）∵f(x)=2sin(2x-

3π

4

)+1且y=2^x是增函数，
∴函数y=f（x）的递减区间，即为y=sin(2x-

3π

4

)+1的递减区间．
由2kπ+

π

2

＜2x-

3π

4

＜2kπ+

3π

2

，k∈z解得：kπ+

5π

8

＜x＜kπ+

9π

8

．
∴函数y=f（x）的递减区间为[kπ+

5π

8

，kπ+

9π

8

](k∈Z)（10分）
（3）∵f(x)=2sin(2x-

3π

4

)+1=2.2sin[2(x-

3π

8

)]
∴将函数y=2^sin2x的图象向右平移

3π

8

个单位，然后纵坐标扩大为2倍（横坐标不变）
得到函数y=f（x）的图象（14分）