题目

题型：填空题难度：一般来源：不详

给定方程：（）^x+sinx﹣1=0，下列命题中：
①该方程没有小于0的实数解；
②该方程有无数个实数解；
③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；
④若x₀是该方程的实数解，则x₀＞﹣1．
则正确命题是　      　．

答案

②③④

解析

试题分析：对于①，若α是方程（）^x+sinx﹣1=0的一个解，
则满足（）^α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）^α＞1，
此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；
对于②，原方程等价于（）^x﹣1=﹣sinx，
当x≥0时，﹣1＜（）^x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1
且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，
因此函数y=（）^x﹣1与y=﹣sinx的图象在[0，+∞）上有无穷多个交点
因此方程（）^x+sinx﹣1=0有无数个实数解，故②正确；
对于③，当x＜0时，
由于x≤﹣1时（）^x﹣1≥1，函数y=（）^x﹣1与y=﹣sinx的图象不可能有交点
当﹣1＜x＜0时，存在唯一的x满足（）^x=1﹣sinx，
因此该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，得③正确；
对于④，由上面的分析知，
当x≤﹣1时（）^x﹣1≥1，而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解
∴函数y=（）^x﹣1与y=﹣sinx的图象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交点
因此只要x₀是该方程的实数解，则x₀＞﹣1．
点评：本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题