题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)求证:当满足条件时,对于,;
(2)设是两个实数,满足,且,若,求函数在区间上的单调递增区间的长度之和.(闭区间的长度定义为)
答案
解析
试题分析:(1)由分析可知的解析式就是取中较小的一个。所以等价于,将此不等式转化成指数函数不等式,根据指数的运算法则,应将除过去用公式,再将不等式左边的2也化为以3为底的对数,依据的公式是。再根据指数函数的单调性解同底的对数不等式。最后根据绝对值不等式的性质放缩不等式,即可求解。(2)根据(1)中所证已知时,,图形关于对称,且在两侧单调性相反。若则为的中点。即可求得函数在区间上的单调递增区间的长度。当时,当时,当时,当时解图象交点的横坐标,根据图像得的解析式。再根据图像得增区间,再求增区间的长度。
试题解析:(1)由的定义可知,(对所有实数)等价于(对所有实数)这又等价于,即对所有实数均成立. (*) 由于的最大值为, 故(*)等价于,即,所以当时,
(2)分两种情形讨论
(i)当时,由(1)知(对所有实数)
则由及易知,
再由的单调性可知,
函数在区间上的单调增区间的长度
为(参见示意图1)
(ii)时,不妨设,则,于是
当时,有,从而;
当时,有
从而 ;
当时,,及,由方程
解得图象交点的横坐标为
⑴
显然,
这表明在与之间。由⑴易知
综上可知,在区间上, (参见示意图2)
故由函数及的单调性可知,在区间上的单调增区间的长度之和为,由于,即,得
⑵
故由⑴、⑵得
综合(i)(ii)可知,在区间上的单调增区间的长度和为。
核心考点
试题【已知函数(为常数),函数定义为:对每一个给定的实数,(1)求证:当满足条件时,对于,;(2)设是两个实数,满足,且,若,求函数在区间上的单调递增区间的长度之和.】;主要考察你对指数函数的定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
(2)若,求的值.
A. | B. | C. | D. |
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