题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

学习曲线是1936年美国廉乃尔大学T．P．Wright博士在飞机制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的．已知某类学习任务的学习曲线为：f（t）=

3

4+a•2-t

•100%（其中f（t））为掌握该任务的程度，t为学习时间），且这类学习任务中的某项任务满足f（2）=60%
（1）求f（t）的表达式，计算f（0）并说明f（0）的含义；
（2）已知2^x＞xln2对任意x＞0恒成立，现定义

f(t)

t

为该类学习任务在t时刻的学习效率指数，研究表明，当学习时间f∈（1，2）时，学习效率最佳，当学习效率最佳时，求学习效率指数相应的取值范围．

答案

（1）∵f(t)=  

3

4+a•2-t

 ×100%，且f（2）=60%

3

4+a•2-t

×100%=60%，可得a=4
∴f（t）=

3

4(1+2-t)

，(t≥0)
∴f(0)=

3

4(1+1)

=

3

8

=37.5%
f（0）表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5% （4分）
（2）令学习效率指数y=

f(t)

t

，
y=

f(t)

t

=

3

4t(1+2-t)

=

3

4(t+ t 2t )

（t＞0）
现研究g(t)=

t

2t

+t 的单调性
g′(t)=1+

2t-t•2tln2

2t

=

2t-tln2+1

2t

（t＞0）（6分）
又已知x＞0时，2^x＞xln2恒成立
所以2^t-tln2＞0恒成立
∴g（t）在（0，+∞）上为增函数且g（t）为正数
∴y=

f(t)

t

=

3

4(t+ t 2t )

在(0，+∞ )上为减函数．  （8分）
而y|t=1=

f(1)

1

=

1

2

，y|t=2=

f(2)

2

=

3

10

∴y=

f(t)

t

∈(

3

10

，

1

2

)
故所求学习效率指数的取值范围是（

3

10

，

1

2

） （10分）