题目

题型：解答题难度：一般来源：广东模拟

某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x（x≥12）层，则每平方米的平均建筑费用为Q（x）=3000+50x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=

购地总费用

建筑总面积

）

答案

设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，依题意得f(x)=Q(x)+

8000×10000

4000x

=50x+

20000

x

+3000（x≥12，x∈N）
【方法一】因为f(x)=50x+

20000

x

+3000≥2

50x• 20000 x

+3000=5000；
当且仅当50x=

20000

x

即x=20上式取”=”；
因此，当x=20时，f（x）取得最小值5000（元）．
所以，为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费最小值为5000元
【方法二】因为f(x)=50x+

20000

x

+3000，f′(x)=50-

20000

x2

；
令f^′（x）=0（其中x＞0），得x=20；当0＜x＜20时，f^′（x）＜0，f（x）是减函数；当x＞20时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；所以，当且仅当x=20时，f（x）有最小值，为f（20）=5000；即为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费最小值为5000元．