题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

某旅游景点预计2013年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：万人）与x的关系近似地满足p（x）=

1

2

x（x+1）•（39-2x），（x∈N^*，且x≤12）．已知第x月的人均消费额q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（x）=

35-2x(x∈N*，且1≤x≤6) 160 x (x∈N*，且7≤x≤12)

（I）写出2013年第x月的旅游人数f（x）（单位：人）与x的函数关系式；
（II）试问2013年第几月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为多少元？

答案

（Ⅰ）当x=1时，f（1）=p（1）=37，
当2≤x≤12，且x∈N^*时，
f（x）=P（x）-P（x-1）=

1

2

x（x+1）（39-2x）-

1

2

（x-1）x（41-2x）=-3x²+40x．…（5分）
验证x=1符合f（x））=-3x²+40x（x∈N^*，且1≤x≤12））…（6分）
（Ⅱ）第x月旅游消费总额为g（x）=

(-3x2+40x)(35-2x)，1≤x≤6 (-3x2+40x)× 160 x ，7≤x≤12

（x∈N^*）
即g（x）=

6x3-185x2+1400x，1≤x≤6 -480x+6400，7≤x≤12

（x∈N^*）…（8分）
当1≤x≤6，且x∈N^*时，g′（x）=18x²-370x+1400，令g′（x）=0，解得x=5，x=

140

9

（舍去）．
∴当1≤x＜5时，g′（x）＞0，当5＜x≤6时，g′（x）＜0，
∴当x=5时，g（x）_max=g（5）=3125（万元）．…（10分）
当7≤x≤12，且x∈N^*时，g（x）=-480x+6400是减函数，∴当x=7时，g（x）_max=g（7）=3040（万元），
综上，2013年第5月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为3125万元．…（12分）