题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
已知函数f (x)=ex,g(x)=lnx,h(x)=kx+b.
(1)当b=0时,若对x∈(0,+∞)均有f (x)≥h(x)≥g(x)成立,求实数k的取值范围;
(2)设h(x)的图象为函数f (x)和g(x)图象的公共切线,切点分别为(x1, f (x1))和(x2, g(x2)),其中x1>0.
①求证:x1>1>x2;
②若当x≥x1时,关于x的不等式ax2-x+xe+1≤0恒成立,求实数a的取值范围.
答案
解析
试题分析:(1)依题意对x∈(0,+∞)均有ex≥kx≥lnx成立,
即对任意x∈(0,+∞)均有≥k≥成立, ……1分
∴()min≥k≥,
因为=,故在(0,1)上减,(1,+∞)增,
∴()min=e,
又 ,故在(0,e)上减,(e,+∞)增,
∴ ,即k的取值范围是[,e] . ……5分
(2)由题知:h(x)即为y-e= e(x-x1)即y=e·x+ e-x1 e,
也为y=lnx2=即y=+lnx2-1,
∴, ……6分
又x1=0 ∴e>1 即>1x1>1即x1>1>x2, ……8分
(3)令F(x)=ax2-x+xe+1(x≥x1),
∴F′(x)= -1-xe+e=-1+e(1-x)( x≥x1)
又x≥x1>1 F′(x)= -1-xe+e=-1+e(1-x)<0,
即F(x)=ax2-x+xe+1(x≥x1)单减,
所以只要F(x)≤F(x1)= ax2-x1+1xe+1≤0,
即a+ x1-x1e+ e≤0. ……12分
由,
∴,
即
故只要≤0得:a≤1,
综上,实数a的取值范围是(-∞,1]. ……14分
点评:导数是研究函数性质的有力工具,要熟练应用,而恒成立问题一般要转化为最值问题解决.
核心考点
试题【 (本小题满分14分)已知函数f (x)=ex,g(x)=lnx,h(x)=kx+b.(1)当b=0时,若对x∈(0,+∞)均有f (x)≥h(x)≥g(x)成】;主要考察你对指数函数图象及性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.奇函数但非偶函数; | B.偶函数但非奇函数; |
C.既是奇函数又是偶函数; | D.非奇非偶函数 |
(I)求、的表达式;
(II)求证:当时,方程有唯一解;
(Ⅲ)当时,若在∈内恒成立,求的取值范围.
已知函数.
(1)若,求的单调区间;
(2)若恒成立,求的取值范围.
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