题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知m∈R，函数f（x）=（x²+mx+m）•e^x．
（1）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围；
（2）当m＞2时，求函数f（x）的极大值．

答案

（1）令f（x）=（x²+mx+m）•e^x=0．
∵e^x＞0，∴x²+mx+m=0．
∵函数f（x）没有零点，∴方程x²+mx+m=0无实根．
则△=m²-4m＜0，解得：0＜m＜4．
所以函数f（x）没有零点的实数m的取值范围是（0，4）；
（2）由f（x）=（x²+mx+m）•e^x．
得：f^′（x）=（2x+m）e^x+（x²+mx+m）e^x
=（x²+2x+mx+2m）e^x=（x+2）（x+m）e^x．
令f^′（x）=0，得：x=-2或x=-m．
当m＞2时，-m＜-2．
所以，当x∈（-∞，-m）时，f^′（x）＞0，函数f（x）为增函数；
当x∈（-m，-2）时，f^′（x）＜0，函数f（x）为减函数；
当x∈（2，+∞）时，f^′（x）＞0，f（x）为增函数；
所以，当x=-m时，f（x）取得极大值，极大值为f（-m）=[（-m）²+m•（-m）+m]e^-m=me^-m．