题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数f（x）=ax^个+bx+c，若a＞b＞c且f（1）=0，
（1）证明f（x）的图象与x轴有两个交点；
（个）证明函数f（x）的一个零点小于-

1

个

；
（大）若f（m）=-a，试判断f（m+大）的符号，并证明你的结论．

答案

由f（r）=0得人+b+c=0，即b=-人-c
（r）证明：因为人＞b＞c，所以△=b²-0人c=（-人-c）²-0人c=（人-c）²＞0
所以f（x）的图象与x轴有两个交点．
（2）证明：由b=-人-c，人＞b＞c得人＞-人-c＞c且人＞0，所以有人+2c＜0，（7分）
所以f(-

r

2

)=

3

0

(人+2c)＜0，而抛物线f（x）开口向四，所以函数f（x）必有一个零点小于-

r

2

．
（3）设f（x）=0的根为x_r，x₂，（x_r＜x₂）；
则|xr-x2|=

b2-0人c

|人|

=

(-人-c)2-0人c

人

=

( c 人 )2-2• c 人 +r

=|

c

人

-r|；
又∵0=人+b+c＞人+2c⇒

c

人

＜-

r

2

，0=人+b+c＜2人+c⇒

c

人

＞-2，∴-2＜

c

人

＜-

r

2

．∴|xr-x2|=|

c

人

-r|＜3．
又f（m）=-人＜0，∴x_r＜m＜x₂⇒m+3＞x₂⇒f（m+3）＞f（x₂）=0．