题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=lnx，g（x）=（m+1）x²-x（m≠-1）．
（I）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象在公共点P处有相同的切线，求实数m的值和P的坐标；
（II）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点M、N，求实数m的取值范围；
（III）在（II）的条件下，过线段MN的中点作x轴的垂线分别与f（x）的图象和g（x）的图象交于S、T点，以S点为切点
作f（x）的切线l₁，以T为切点作g（x）的切线l₂，是否存在实数m，使得l₁∥l₂？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．

答案

（I）设函数y=f（x）与y=g（x）图象的公共点为P（x₀，y₀），
则有lnx₀=（m+1）x₀²-x₀①，
又在点P处有共同的切线，
∴f′(x0)=g′(x0)⇒

1

x0

=2(m+1)x0-1⇒m=

1+x0

2 x 20

-1，②
②代入①，得lnx0=

1

2

-

1

2

x0．
设h(x)=lnx-

1

2

+

1

2

x⇒h′(x)=

1

x

+

1

2

＞0(x＞0)．
所以，函数h（x）最多只有1个零点，
观察得x₀=1是零点，故m=0．
此时，点P（1，0）；
（II）根据（I）知，当m=0时，两条曲线切于点P（1，0），
此时，变化的y=g（x）的图象的对称轴是x=

1

2

，
而y=f（x）是固定不变的，如果继续让对称轴向右移动，
即x=

1

2(m+1)

＞

1

2

，解得-1＜m＜0．两条曲线有两个不同的交点，
当m＜-1时，开口向下，只有一个交点，显然不合题意，
所以，有-1＜m＜0；

（III）假设存在这样的m，不妨设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且x₁＞x₂，
则MN中点的坐标为(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)．
以S为切线的切线l₁的斜率ks=f′(

x1+x2

2

)=

2

x1+x2

，
以T为切点的切线l₂的斜率kT=g′(

x1+x2

2

)=(m+1)(x1+x2)-1．
如果存在m，使得k_s=k_T，
即

2

x1+x2

=(m+1)(x1+x2)-1．③
而且有lnx₁=（m+1）x₁²-x₁和lnx₂=（m+1）x₂²-x₂．
如果将③的两边同乘以x₁-x₂，得
④

2(x1-x2)

x1+x2

=(m+1)(

x

21

-

x

22

)-(x1-x2)，
即

2(x1-x2)

x1+x2

=[(m+1)

x

21

-x1]-[(m+1)

x

22

-x2]=lnx1-lnx2=ln

x1

x2

，
也就是ln

x1

x2

=

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

．
设μ=

x1

x2

＞1，则有lnμ=

2(μ-1)

1+μ

(μ＞1)．
令h(μ)=lnμ-

2(μ-1)

1+μ

（μ＞1），则h′(μ)=

1

μ

-

4

(1+μ)2

=

(μ-1)2

μ(1+μ)2

．
∵μ＞1，∴h"（μ）＞0．
因此，h（μ）在[1，+∞]上单调递增，故h（μ）＞h（1）=0．
∴lnμ＞

2(μ-1)

1+μ

(μ＞1)⑤
∴④与⑤矛盾．
所以，不存在实数m使得l₁∥l₂．