题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设集合A={x｜4^x–2^x+2+a=0,x∈R}.
（1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；
（2）若对于任意a∈B，不等式x²–6x＜a(x–2)恒成立，求x的取值范围.

答案

(1) B={a｜a≤0或a=4} (2)

解析

(1)令2^x=t(t＞0)，设f(t)=t²–4t+a.
由f(t)=0在(0,+∞)有且仅有一根或两相等实根，则有
①f(t)=0有两等根时，Δ=016–4a=0a=4
验证:t²–4t+4=0t=2∈(0,+∞)，这时x=1
②f(t)=0有一正根和一负根时,f(0)＜0a＜0
③若f(0)=0，则a=0，此时4^x–4·2^x=02^x=0（舍去），或2^x=4,∴x=2，即A中只有一个元素
综上所述，a≤0或a=4，即B={a｜a≤0或a=4}
（2）要使原不等式对任意a∈(–∞,0］∪｛4｝恒成立. 即g(a)=(x–2)a–(x²–6x)＞0恒成立. 只须
＜x≤2