题目

题型：解答题难度：一般来源：0116 月考题

已知函数f(x)=-x²+2x。
（1）判断f(x)在区间(-∞，1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）当x∈[0，5]时，求f(x)的最大值和最小值。

答案

解：（1）f（x）在区间(-∞，1]上为增函数，
下面给予证明： 任取x₁，x₂∈(-∞，1]且x₁＜x₂，
则f(x₁)-f(x₂)=（）-（）
=，
∵，
∴，且，
∴，
∴，即，
∴f(x)在区间(-∞，1]上是减函数。
（2）函数的图象开口向下，对称轴为x=1，
∴f（x）在[0，1]上单调递增，在[1，5]上单调递减，
∵，
∴f（x）在[0，5]上的最大值为1，最小值为-15。