题目

题型：解答题难度：一般来源：上海模拟题

对于两个定义域相同的函数f（x），g（x），若存在实数m，n使h（x）=mf（x）+ng（x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的。
（1）若f（x）=x²+3x和g（x）=-3x+4生成一个偶函数h（x），求h（2）的值；
（2）若h（x）=2x²+3x-1由函数f（x）=x²+ax，g（x）=x+b（a，b∈R，且ab≠0）生成，求a+2b的取值范围；
（3）试利用“基函数f（x）=log₄（4x+1），g（x）=x-1”生成一个函数h（x），使之满足下列条件：
①是偶函数；②有最小值1；求出函数h（x）的解析式并进一步研究该函数的单调性（无需证明）。

答案

解：（1）设
∵h（x）是偶函数，∴m+n=0，∴h（2）=10m+10n=0
（2）设
∴
由ab≠0知，n≠3，∴
（3）设
∵h（x）是偶函数，∴h（-x）-h（x）=0
即，∴得m=-2n
则
，∵h（x）有最小值则必有n<0，且有-2n=1
∴m=1，n=，
h（x）在[0，+∞）上为增函数，在（-∞，0]上为减函数。