题目
题型:解答题难度:困难来源:吉林省模拟题
(Ⅰ)当x∈(,1)时,不等式f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)设H(x)=[f(x)+a-1]ex,当a>-1且a≠0时,求函数H(x)的单调区间和极值.
答案
解:(Ⅰ)①当a=0时,=-x+1,在上,>0一定成立;
②当a≠0时,,
当a>0时,二次函数y=的图象开口向上,且与x轴有两个交点(1,0)和,
要使>0在上恒成立,当且仅当,即;
当a<0时,二次函数y=的图象开口向下,且与x轴有两个交点(1,0)和,
要使>0在上恒成立,当且仅当,即;
综合可得实数a的取值范围是。
(Ⅱ),
,
令,解得:或x=-1,
①当a>0时,则,当x变化时,的变化情况如下表:
所以,函数H(x)在内是增函数,在内是减函数,
函数H(x)在x=-1处取得极大值H(-1),且;
函数H(x)在处取得极小值,且;
②当时,则,当x变化时,的变化情况如下表:
所以,函数H(x)在内是减函数,在内是增函数,
函数H(x)在x=-1处取得极大值H(-1),且;
函数H(x)在处取得极小值,且。
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax2-(a+1)x+1,(Ⅰ)当x∈(,1)时,不等式f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围; (Ⅱ)设H(x)=[f(x)+a-1]ex,】;主要考察你对二次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x)为单调减函数,求m的范围;
(Ⅲ)当m>0,x∈[0,1]时,求f(x)的最大值。
(Ⅰ)求g(x)的表达式;
(Ⅱ)若x>0使f(x)≤0成立,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)设1<m≤e,H(x)=f(x)-(m+1)x,证明:对x1,x2∈[1,m],恒有|H(x1)-H(x2)|<1。
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