题目

题型：解答题难度：困难来源：北京期中题

已知函数f（x）=x²﹣2ax+a²﹣1．
（1）若f（1）=3，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数f（x）的最小值g（a）．

答案

解：（1）∵f（x）=x²﹣2ax+a²﹣1．
又∵f（1）=3，
即1﹣2a+a²﹣1=3
即a²﹣2a﹣3=0
解得a=﹣1，或a=3
（2）∵函数f（x）=x²﹣2ax+a²﹣1的图象是开口向上，
且以x=a为对称轴的抛物线
又∵函数f（x）在区间[0，2]上是单调的，
则区间[0，2]在对称轴的同一侧
故a≤0或a≥2
（3）当a≤﹣1时，函数在[﹣1，1]为增函数，
此时函数f（x）的最小值
g（a）=f（﹣1）=a²+2a
当﹣1＜a＜1时，函数在[﹣1，a]上递减，在[a，1]为增函数，
此时函数f（x）的最小值g（a）=f（a）=﹣1
当a≥1时，函数在[﹣1，1]为减函数，
此时函数f（x）的最小值g（a）=f（1）=a²﹣2a
故g（a）=