题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数f（x）=ax²+bx，（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有两个相等的实根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]与[3m，3n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵f（-x+5）=f（x-3），∴f（x）的对称轴为x=1，
即-

b

2a

=1即b=-2a．
∵f（x）=x有两相等实根，∴ax²+bx=x，
即ax²+（b-1）x=0有两相等实根0，
∴-

b-1

a

=0，
∴b=1，a=-

1

2

，
∴f（x）=-

1

2

x²+x．
（2）f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

，
故3n≤

1

2

，故m＜n≤

1

6

，
又函数的对称轴为x=1，故f（x）在[m，n]单调递增则有f（m）=3m，f（n）=3n，
解得m=0或m=-4，n=0或n=-4，又m＜n，故m=-4，n=0．