题目

题型：解答题难度：一般来源：门头沟区一模

（I）已知a₁，a₂∈R，a₁+a₂=1，求证：a₁²+a₂²≥

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2

；
（II）若a₁，a₂，…a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，求证：a₁²+a₂²+…+a_n²≥

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n

．

答案

（I）证明：构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²=2x²-2x+a₁²+a₂²
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，
所以△=4-8（a₁²+a₂²）≤0，从而得a₁²+a₂²≥

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2

，
（II）证明：构造函数
f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²+…+（x-a_n）²
=nx²-2（a₁+a₂+…+a_n）x+a₁²+a₂²+…+a_n²
=2x²-2x+a₁²+a₂²+…+a_n²
因为对一切x∈R，都有f（x）≥0，所以△=4-4n（a₁²+a₂²+…+a_n²）≤0
从而证得：a₁²+a₂²+…+a_n²≥

1

n