题目

题型：解答题难度：困难来源：湖北省模拟题

位于函数y=3x+的图象上的一系列点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，这一系列点的横坐标构成以-为首项，-1为公差的等差数列{x_n}。
（1）求点P_n的坐标；
（2）设抛物线C₁，C₂，C₃，…，C_n，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，对于n∈N*，第n条抛物线C_n的顶点为P_n，抛物线C_n过点D_n（0，n²+1），且在该点处的切线的斜率为k_n，求证：
。

答案

解：（1）由于P_n的横坐标构成以为首项，-1为公差的等差数列{x_n}，故

又位于函数的图象上
所以
所以点的坐标为。
（2）由题意可设抛物线C_n的方程为

即
由抛物线C_n过点
于是有n²+1=
由此可得
故
所以（n≥2）
于是


故。