题目
题型:解答题难度:一般来源:广州一模
(1)求f(x)的解析式;
(2)设g(x)=
ln|x| |
|x| |
1 |
2 |
(3)是否存在实数a,使得当x∈[-e,0)时,f(x)的最小值是3?如果存在,求出实数a的值;如果不存在,请说明理由.
答案
又∵f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,
∴f(x)=-f(-x)=ax-ln(-x),
∴函数f(x)的解析式为f(x)=
|
(2)证明:当x∈[-e,0)且a=-1时,f(x)=-x-ln(-x),g(x)=
ln(-x) |
-x |
设h(x)=
ln(-x) |
-x |
1 |
2 |
∵f′(x)=-1-
1 |
x |
x+1 |
x |
∴当-e≤x≤-1时,f"(x)≤0,此时f(x)单调递减;
当-1<x<0时,f"(x)>0,此时f(x)单调递增,
∴f(x)min=f(-1)=1>0,
又∵h′(x)=
ln(-x)-1 |
x2 |
∴当-e≤x<0时,h"(x)≤0,此时h(x)单调递减,
∴h(x)max=h(-e)=
1 |
e |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴当x∈[-e,0)时,f(x)>h(x),即f(x)>g(x)+
1 |
2 |
(3)假设存在实数a,使得当x∈[-e,0)时,f(x)=ax-ln(-x)有最小值是3,
则f′(x)=a-
1 |
x |
ax-1 |
x |
(ⅰ)当a=0,x∈[-e,0)时,f′(x)=-
1 |
x |
f(x)min=f(-e)=-1,不满足最小值是3
(ⅱ)当a>0,x∈[-e,0)时,f"(x)>0,f(x)在区间[-e,0)上单调递增,
f(x)min=f(-e)=-ae-1<0,也不满足最小值是3
(ⅲ)当-
1 |
e |
1 |
x |
故函数f(x)=ax-ln(-x)是[-e,0)上的增函数.
∴f(x)min=f(-e)=-ae-1=3,解得a=-
4 |
e |
1 |
e |
(ⅳ)当a<-
1 |
e |
当-e≤x<
1 |
a |
1 |
x |
当
1 |
a |
1 |
x |
∴f(x)min=f(
1 |
a |
1 |
a |
综上可知,存在实数a=-e2,使得当x∈[-e,0)时,f(x)有最小值3.
核心考点
试题【已知函数f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈(0,e]时,f(x)=ax+lnx(其中e是自然界对数的底,a∈R)(1)求f(x)的解析式】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
(I)证明:函数f(x)是奇函数;
(II)求f(x)的单调区间.
|
π |
6 |
A.f(x)=
| B.f(x)=lnx | ||||||||
C.f(x)=
| D.f(x)=
|
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