设p为常数，函数f（x）=log2（1-x）+plog2（1+x）为奇函数．（1）求p的值；（2）若f（x）＞2，求x的取值范围；（3）求证：x•f（x）≤0． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设p为常数，函数f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）为奇函数．
（1）求p的值；（2）若f（x）＞2，求x的取值范围；（3）求证：x•f（x）≤0．

答案

（1）f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）=log₂[（1-x）（1+x）^p]，
∵f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）为奇函数，
∴f（-x）=log₂[（1+x）（1-x）^p]=-f（x）=log2

(1-x)(1+x )p

=log₂[（1-x）^-1（1+x）^-p]，
∴

1+x=(1+x)-p

(1-x)p=(1-x)-1

，
∴p=-1．
（2）∵p=-1，
∴f（x）=log2

1-x

1+x

，
∵f（x）＞2，
∴

1-x＞0

1+x＞0

1-x

1+x

＞4

，
解得-1＜x＜-

，
∴f（x）＞2时x的取值范围是（-1，-

）．
（3）∵f（x）=log2

1-x

1+x

，
∴

1-x

1+x

＞0，解得-1＜x＜1．
当-1＜x＜0时，

1-x

1+x

＞1，f（x）=log2

1-x

1+x

＞0，
∴x•f（x）＜0；
当x=0时，

1-x

1+x

=1，f（x）=log2

1-x

1+x

=0，
∴x•f（x）=0；
当0＜x＜1时，

1-x

1+x

＜1，f（x）=log2

1-x

1+x

＜0，
∴x•f（x）＜0．
综上所述，x•f（x）≤0．

核心考点

试题【设p为常数，函数f（x）=log2（1-x）+plog2（1+x）为奇函数．（1）求p的值；（2）若f（x）＞2，求x的取值范围；（3）求证：x•f（x）≤0．】；主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]

举一反三

定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），x∈（0，1）时，f(x)=

4x+1

．
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）求f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）上的解析式；
（3）若关于x的方程|f（x）|=a无实数解，求实数a的取值范围．

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已知f（x）=ax²+4x+1（a＜0），对于给定的负数a，存在一个最大的正数t，在区间[0，t]上，|f（x）|≤3恒成立．
（1）当a=-1时，求t的值；
（2）求t关于a的表达式g（a）；
（3）求g（a）的最大值．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知定义域为R的函数f(x)=

3x+b

3x+a

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）讨论函数y=f（x）的单调性；
（3）若对任意的t∈[-3，3]，不等式f（2t²+4t）+f（k-t²）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

（普通中学学生做）若不等式x²+ax+a＞0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是______．

题型：填空题难度：简单| 查看答案

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=n+

an（n∈N^*）．数列{b_n}是等差数列，且b₂=a₂，b₂₀=a₄．
（1）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（2）求数列{

an-1

}的前n项和T_n；
（3）若不等式Tn+

-n2+11n-6

2×3n

＜lo

x（a＞0且a≠1）对一切n∈N^*恒成立，求实数x的取值范围．

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