题目

题型：单选题难度：简单来源：不详

若不等式x²+2xy≤a（2x²+y²）对于一切正数x、y恒成立，则实数a的最小值为（　　）

A．2

B． 2 +1 2

C． 3 2

D．1

答案

由题意可得：不等式x²+2xy≤a（2x²+y²）对于一切正数x，y恒成立，
即不等式（2a-1）x²-2xy+ay²≥0对于一切正数x，y恒成立，
即不等式（2a-1）（

x

y

）²-2•

x

y

+a≥0对于一切正数x，y恒成立，
令t=

x

y

，则有t＞0，所以（2a-1）t²-2t+a≥0对于一切t∈（0，+∞）恒成立，
∴a≥

t2+2t

2t2+1

对于一切t∈（0，+∞）恒成立，
令f（t）=

t2+2t

2t2+1

，则f′（t）=

-2(t-1)(2t+1)

(2t2+1)2

∴t∈（0，1）时，f′（t）＞0，函数单调递增，t∈（1，+∞）时，f′（t）＜0，函数单调递减
∴t=1时，函数取得最大值1
∴a≥1
∴实数a的最小值为1
故选D