题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=inx-a（x-1），a∈R
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤

inx

x+1

恒成立，求a的取值范围．

答案

（本小题满分12分）
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

1-ax

x

，
若a≤0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，…（2分）
若a＞0，则由f′（x）=0，得x=

1

a

，
当x∈（0，

1

a

）时，f′（x）＞0，
当x∈（

1

a

，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，

1

a

）上单调递增，在（

1

a

，+∞）单调递减．
所以当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞0时，f（x）在（0，

1

a

）上单调递增，在（

1

a

，+∞）单调递减．…（4分）
（Ⅱ）f（x）-

lnx

x+1

=

xlnx-a(x2-1)

x+1

，
令g（x）=xlnx-a（x²-1），（x≥1），
g′（x）=lnx+1-2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1-2ax，
F′(x)=

1-2ax

x

，…（6分）
①或a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）递增，
g′（x）≥g′（1）=1-2a＞0，
∴g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0，
从而f（x）-

lnx

x+1

≥0不符合题意．…（8分）
②若0＜a＜

1

2

，当x∈（1，

1

2a

），F′（x）＞0，
∴g′（x）在（1，

1

2a

）递增，
从而g′（x）＞g′（1）=1-2a，
∴g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0，
从而f（x）-

lnx

x+1

≥0不符合题意．…（10分）
③若a≥

1

2

，F′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，
∴g′（x）在[1，+∞）递减，g′（x）≤g′（1）=1-2a≤0，
从而g9x）在[1，+∞）递减，
∴g（x）≤g（1）=0，f（x）-

lnx

x+1

≤0，
综上所述，a的取值范围是[

1

2

，+∞）．…（12分）