题目

题型：填空题难度：一般来源：不详

莆田十中高三（1）研究性学习小组对函数f(x)=

sinx

x

的性质进行了探究，小组长收集到了以下命题：
下列说法中正确命题的序号是______．（填出所有正确命题的序号）
①f（x）是偶函数；                     ②f（x）是周期函数；
③f（x）在区间（0，π）上的单调递减；  ④f（x）没有值最大值．

答案

因为函数f(x)=

sinx

x

，
∴f（-x）=

sin(-x)

-x

=

-sinx

-x

=

sinx

x

=f（x）．即f（x）是偶函数；①成立．
又f′（x）=

xcosx+sinx

x2

，
令g（x）=xcosx+sinx，得g′（x）=-xsinx，在（0，π）上，g′（x）＜0恒成立，故g（x）_max＜g（0）=0．
∴f′（x）＜0恒成立．
∴f（x）在区间（0，π）上的单调递减； 即③成立．
又∵y=sinx是周期为2π的函数，函数值每过2π重复出现，但y=x是一单调递增函数，
所以：f（x）不是周期函数；且f（x）没有值最大值，即②不成立，④成立．
故答案为：①③④．