题目

题型：解答题难度：一般来源：重庆模拟

已知函数f（x）=x³-2ax²-3x，x∈R．
（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，f（x）≥ax恒成立，求a的取值范围．

答案

（I）当a=0时，f（x）=x³-3x，故f"（x）=3x²-3…（1分）
因为当x＜-1或x＞1时，f"（x）＞0
当-1＜x＜1时，f"（x）＜0
故f（x）在（-∞，-1]和[1，+∞）上单调递增，在（-1，1）上单调递减．…（5分）
（II）由题意可知x³-2ax²-3x≥ax在（0，+∞）上恒成立，
即x²-2ax-（3+a）≥0在（0，+∞）上恒成立．…（7分）
令g（x）=x²-2ax-（3+a），
因为△=(-2a)2+4(a+3)=4(a+

1

2

)2+11＞0…（9分）
故x²-2ax-（3+a）≥0在（0，+∞）上恒成立等价于

a＜0 g(0)≥0

即

a＜0 -a-3≥0

解得a≤-3…（12分）