题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f（x）=x|x-a|+b，设常数b＜2

2

-3，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

答案

∵b＜2

2

-3＜0，
∴当x=0时，a取任意实数不等式恒成立，故考虑x∈（0，1]时，原不等式变为|x-a|＜-

b

x

，即x+

b

x

＜a＜x-

b

x

，
∴只需对x∈（0，1]满足

a＞(x+ b x )max，(1) a＜(x- b x )min，(2)

．
对（1）式，由b＜0时，在（0，1]上，f（x）=x+

b

x

为增函数，
∴(x+

b

x

)max=f（1）=1+b
∴a＞1+b．（3）
对（2）式，①当-1≤b＜0时，在（0，1]上，x-

b

x

=x+

-b

x

≥2

-b

（当且仅当x=-

b

x

，即x=

-b

时取等号）；
∴(x-

b

x

)min=2

-b

．
∴a＜2

-b

．（4）
由（3）、（4），要使a存在，必须有

1+b＜2 -b -1≤b＜0

，解得-1≤b＜-3+2

2

．
∴当-1≤b＜-3+2

2

时，1+b＜a＜2

-b

．
②当b＜-1时，在（0，1]上，f（x）=x-

b

x

为减函数，
∴(x-

b

x

)min=f（1）=1+b，
∴当b＜-1时，1+b＜a＜1-b．
综上所述，当-1≤b＜2

2

-3时a的取值范围是（1+b，2

-b

）；
当b＜-1时，a的取值范围是（1+b，1-b）．