已知函数f(x)=2a-13x+1（a∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=2a-

3x+1

（a∈R）．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明．

答案

（1）∵函数f（x）为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，
即：(2a-

3-x+1

)+(2a-

3x+1

)=0，
则有：4a-

3-x3x+13x

3x+1

=0，
即：4a-

3x+1

=0，
∴4a-1=0，a=

；
（2）f（x）在R上是增函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=(2a-

3x1+1

)-(2a-

3x2+1

3x1+1

3x1-3x2

(3x1+1)(3x2+1)

．
∵y=3^x在R上是增函数，且x₁＜x₂，
∴3x1＜3x2，
即：3x1-3x2＜0．
又3^x＞0，
∴3x1+1＞0，3x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即：f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在R上是增函数．

核心考点

试题【已知函数f(x)=2a-13x+1（a∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明．】；主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]

举一反三

定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞]上递增，f（

）=0，则满足不等式f(log

x)＞0的x的取值范围是______．

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我们把具有以下性质的函数f（x）称为“好函数”：对于在f（x）定义域内的任意三个数a，b，c，若这三个数能作为三角形的三边长，则f（a），f（b），f（c）也能作为三角形的三边长．现有如下一些函数：
①f(x)=

②f(x)=1-x，x∈(0，

)
③f（x）=e^x，x∈（0，1）
④f（x）=sinx，x∈（0，π）．
其中是“好函数”的序号有______．

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已知函数f(x)=

x2+2x+m

，若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知函数f（x+1）是偶函数，当x₂＞x₁＞1时，[f（x₂）-f（x₁）]（x₂-x₁）＞0恒成立，设a=f(-

)，b=f(2)，c=f(3)，则a，b，c的大小关系为（按从小到大）______．

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若关于x的不等式x2+

x-(

)n≥0对任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是______．

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