题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意正实数x，不等式f（x）≥kg（x）恒成立，求实数k的值；
（Ⅲ）求证：2nlnn!≥（n-1）²（n∈N^*）．（其中n!=1×2×3×…×（n-1）×n）

答案

（I）由题意可知：定义域：（0，+∞），f"（x）=lnx+1，令f"（x）=0，得x=

1

e

，（1分）
则当x∈（0，

1

e

）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；（2分）
当x∈（

1

e

，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增（4分）
（II）令h（x）=xlnx-kx+k，则h′（x）=1+lnx-k，
∴h（x）在（0，e^k-1）上是减函数，在（e^k-1，+∞）上是增函数，
∴h（x）≥h（e^k-1）=k-e^k-1，
由题意k-e^k-1≥0，
令t（k）=k-e^k-1，则t′（k）=1-e^k-1，
∴t（k）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
∴t（k）≤t（1）=0，
∴k-e^k-1≤0，
∴k-e^k-1=0，∴k=1．
（III）由（II）得，∀x＞1，xlnx＞x-1恒成立，∴lnx＞

x-1

x

=1-

1

x

，
令x=k²（k∈N*，k≥2），则2lnk＞1-

1

k2

＞1-

1

k(k-1)

=1-(

1

k-1

-

1

k

)，
取k=2，3，…，n-1，n．并累加得：2lnn!＞(n-1)-(1-

1

n

)=

(n-1)2

n

，
∴2nlnn!＞（n-1）²
又当n=1时，2nlnn!=（n-1）²
∴2nlnn!≥（n-1）²（n∈N^*）．