题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件：
（1）对任意的x∈[0，1]，总有f（x）＞0；
（2）f（1）=1；
（3）若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，则称f（x）为“友谊函数”，请解答下列各题：
①若已知f（x）为“友谊函数”，求f（0）的值并判断函数的单调性；
②函数g（x）=2^x-1在区间[0，1]上是否为“友谊函数”？并给出理由．

答案

①取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），
得f（0）≥f（0）+f（0），化简可得f（0）≤0
又由f（0）≥0，得f（0）=0
设0≤x₁＜x₂≤1，则0＜x₂-x₁＜1，
所以f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁）
故有f（x₁）≤f（x₂），故函数f（x）为定义在[0，1]上的增函数；
②显然g（x）=2^x-1在[0，1]上满足（1）g（x）＞0；（2）g（1）=1；（3）若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，则有
g（x₁+x₂）-[g（x₁）+g（x₂）]=2x1+x2-1-[（2x1-1）+（2x2-1）]=（2x2-1）（2x1-1）≥0
故g（x）=2^x-1满足条件（1）、（2）、（3），
所以g（x）=2^x-1为友谊函数．