题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且g（x）+h（x）=e^x．
（1）求g（x），h（x）的解析式；
（2）解不等式h（x²+2x）+h（x-4）＞0；
（3）若对任意x∈[ln2，ln3]使得不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）由

g(-x)+h(-x)=e-x g(x)+h(x)=ex

，得

g(x)-h(x)=e-x g(x)+h(x)=ex

，
解得g（x）=

ex+e-x

2

，h（x）=

ex-e-x

2

．
（2）因为h（x）在R上时单调递增的奇函数，
所以h（x²+2x）+h（x-4）＞0⇔h（x²+2x）＞h（4-x），
所以x²+3x-4＞0，解得x＞1或x＜-4，
所以不等式的解集为：{x|x＞1或x＜-4}．
（3）g（2x）-ah（x）≥0，即得

e2x+e-2x

2

-a•

ex-e-x

2

≥0，参数分离得
a≤

e2x+e-2x

ex-e-x

=

(ex-e-x)2+2

ex-e-x

=e^x-e^-x+

2

ex-e-x

，
令t=e^x-e^-x，则e^x-e^-x+

2

ex-e-x

=t+

2

t

=F（t），
于是F（t）=t+

2

t

，t∈[

3

2

，

8

3

]，
因为F（t）_min=F（

3

2

）=

17

6

，
所以a≤

17

6

．