题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设二次函数f（x）=ax²+bx+1（a、b∈R）
（1）若f（-1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，求实数a、b的值；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）在（1）的条件下，若f（x）≤m²-2am+2对所有x∈[-1，

2

-1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

答案

（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0即b=a+1，
又对任意实数x均有f（x）≥0成立
∴

a＞0 △=b2-4a≤0

恒成立，即（a-1）²≤0恒成立
∴a=1，b=2；
（2）由（1）可知f（x）=x²+2x+1
∴g（x）=x²+（2-k）x+1
∵g（x）在x∈[-2，2]时是单调函数，
∴[-2，2]⊂(-∞，

k-2

2

]或[-2，2]⊂[

k-2

2

，+∞)
∴2≤

k-2

2

或

k-2

2

≤-2，
即实数k的取值范围为（-∞，-2]∪[6，+∞）．
（3）f（x）≤m²-2am+2对所有x∈[-1，

2

-1]，a∈[-1，1]恒成立，
等价于m²-2am≥0对所有a∈[-1，1]恒成立，
构造函数g（a）=m²-2am，∴

m2-2m≥0 m2+2m≥0

，∴m≥2或m≤-2