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题目
题型:填空题难度:一般来源:不详
如果f(x)的图象关于y轴对称,而且在区间[0,+∞)为增函数,又f(-2)=0,那么(x-1)f(x)<0的解集为______.
答案
∵f(x)的图象关于y轴对称,
∴函数f(x)是偶函数,可得f(-2)=f(2)=0,
∵偶函数f(x)在区间[0,+∞)为增函数,
∴f(x)在区间(-∞,0]为减函数,
不等式(x-1)f(x)<0等价于





x-1>0
f(x)<0





x-1<0
f(x)>0

当x-1>0时,不等式f(x)<0成立,即f(x)<f(2),结合单调性可得0<x<2;
当x-1<0时,不等式f(x)>0成立,即f(x)>f(-2),结合单调性可得x<-2.
综上所述,可得(x-1)f(x)<0的解集为{x|0<x<2或x<-2}
故答案为:{x|0<x<2或x<-2}
核心考点
试题【如果f(x)的图象关于y轴对称,而且在区间[0,+∞)为增函数,又f(-2)=0,那么(x-1)f(x)<0的解集为______.】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知f(x)是定义在实数集上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x
(1)当x<0时,求f(x)的解析式;
(2)画出函数f(x)的图象;
(3)写出函数f(x)的单调区间.
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下列函数是奇函数的有(填序号)______.
①f(x)=x|x|,
②f(x)=x+
1
x

③f(x)=2x+1,
④f(x0=-x2+1.
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已知函数f(x)=x+
a
x

(1)证明函数f(x)是奇函数;
(2)若a=1,求证函数在区间[1,+∞)上单调递增;
(3)若函数在区间[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围.
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(1)判断函数f(x)=
2x-1
x-1
在区间(1,+∞)上的单调性,并用定义法给出证明;
(2)判断函数g(x)=x3+
1
x
的奇偶性,并用定义法给出证明.
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设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3)
(1)证明f(x)是偶函数;
(2)指出函数f(x)的单调增区间;
(3)求函数的值域.
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