题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f(x)=x3-

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x2+6x-a，
（1）对于任意实数x，f′（x）≥m恒成立，求m的最大值；
（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

答案

（1）f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
因为x∈（-∞，+∞），f′（x）≥m，
即3x²-9x+（6-m）≥0恒成立，
所以△=81-12（6-m）≤0，
得m≤-

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，即m的最大值为-

3

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（2）因为当x＜1时，f′（x）＞0；
当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0；
所以当x=1时，f（x）取极大值f(1)=

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-a；
当x=2时，f（x）取极小值f（2）=2-a；
故当f（2）＞0或f（1）＜0时，
方程f（x）=0仅有一个实根、解得a＜2或a＞

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