题目

题型：解答题难度：困难来源：期末题

已知函数满足下列条件：
（Ⅰ）定义域为[0，1]；
（Ⅱ）对于任意，且f（1）=1；
（Ⅲ）当时，成立。
（1）求f（0）的值；
（2）证明：对于任意的，都有f（x）≤f（y）成立；
（3）当0≤x≤1时，探究f（x）与2x的大小关系，并证明你的结论。

答案

（1）解：由函数满足条件（Ⅱ）知，
在条件（Ⅲ）中，令得：，
∴，
故。
（2）证明：对于任意的，有成立，
由满足条件（Ⅱ）可得：，
再由满足条件（Ⅲ）可得：，
即对于任意的，都有成立；
（3）解：当时，，由（2）知，
∴；
当x=0时，，知也成立，
故可猜想：当时，，
下面用反证法证明猜想成立：
假设存在，使，
由知，故必存在正整数，使得，
∴均在[0，1]上，
由条件（Ⅲ）及假设知：，
故；
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，与矛盾，故假设不成立；
所以对于任意的，都有成立。