题目
题型:解答题难度:一般来源:同步题
(1)判断f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并证明;
(2)求证:满足f(x)=a(a为常数)的实数x至多只有一个。
答案
设x1<x2,即x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)=(x13+x1)-(x23+x2)=(x13-x23)+(x1-x2)
=(x1-x2)(x12+x1x2+x22+1)=(x1-x2)[(x1+)2+x22+1]<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
因此f(x)=x3+x在R上是增函数。
(2)证明:假设x1<x2且f(x1)=f(x2)=a,由f(x)在R上递增,
∴f(x1)<f(x2),与f(x1)=f(x2)矛盾,
∴原命题正确。
核心考点
试题【已知f(x)=x3+x(x∈R),(1)判断f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并证明;(2)求证:满足f(x)=a(a为常数)的实数x至多只有一个。 】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
B.f(2)<f(3)
C.f(-3)<f(5)
D.f(0)>f(1)
B.f(-x1)=f(-x2)
C.f(-x1)<f(-x2)
D.f(-x1)与f(-x2)大小不确定
B.a<c<b
C.b<c<a
D.c<a<b
B.{x|0<x<3,或x<-3}
C.{x|x>3,或x<-3}
D.{x|0<x<3,或-3<x<0}
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