题目

题型：解答题难度：困难来源：期末题

按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为。如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h₁和h₂，则他对这两种交易的综合满意度为，现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为m_A元和m_B元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h_甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h_乙，
(1)求h_甲和h_乙关于m_A，m_B的表达式；当m_A=m_B时，求证：h_甲=h_乙；
(2)设m_A=m_B，当m_A，m_B分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
(3)记(2)中最大的综合满意度为h₀，试问能否适当选取m_A，m_B的值，使得h_甲≥h₀和h_乙≥h₀同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．

答案

解：(1)，
当m_A=m_B时，
，
，
显然h_甲=h_乙。
(2)当m_A=m_B时，
，
由，得，
故当，即m_B=20，m_A=12时，甲、乙两人同时取到最大的综合满意度为。
(3)由(2)知，
由，
得，
令，则，即，
同理，由，得；
另一方面，，
，
当且仅当x，即时取等号，
所以不能适当选取m_A，m_B的值，使得h_甲≥h₀和h_乙≥h₀同时成立，但等号不同时成立．