题目

题型：解答题难度：一般来源：湖北省模拟题

已知f（x）=log₂（1+x⁴）-（x∈R）是偶函数。
（1）求实常数m的值，并给出函数f（x）的单调区间（不要求证明）；
（2）k为实常数，解关于x的不等式：f（x+k）>f（|3x+1|）。

答案

解：（1）∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∴
∴mx=0
∴m=0
∴
f（x）的递增区间为[0，+∞），递减区间为（-∞，0]。
（2）∵f（x）是偶函数，
∴f（x+k）=f（|x+k|），
不等式即f（|x+k|）>f（|3x+1|），由于f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴|x+k|>|3x+1|，
∴x²+2kx+k²>9x²+6x+1，
即8x²+（6-2k）x+（1-k²）＜0
∴
∵
∴时，不等式解集为
时，不等式解集为
时，不等式解集为。