题目

题型：解答题难度：一般来源：0103 期中题

已知函数f（x）=x+，且f（1）=2，
（1）求m；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断并证明函数f（x）在［1，2］上的单调性，并求出函数f（x）在［1，2］上的最值。

答案

解：（1）f（1）=1+m=2，解得m=1；
（2）∵f（x）的定义域关于原点对称，
且f（x）=x+，f（-x）=-x-=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
（3）函数在［1，2］上为增函数。
证明：设x₁、x₂是［1，2］上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁+-（x₂+）=x₁-x₂+（）
=x₁-x₂-=（x₁-x₂），
当1≤x₁＜x₂≤2时，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0，
从而f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）=+x在［1，2］上为增函数，
其最小值为 f（1）=2，最大值为f（2）=。