题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
x3 |
3 |
x2m-1 |
2m-1 |
x2 |
2 |
x4 |
4 |
x2n |
2n |
(1)若n=1,m=2,求h1(x)的单调区间;若n=2,m=2,求h2(x)的最小值.
(2)(文科选做)若m=n,c=0时,令T(n)=h2(1),求T(n)的最大值.
(理科选做)若m=n,c=0时,令T(n)=h1(1),求证:T(n)=
1 |
n+1 |
1 |
n+2 |
1 |
2n |
(3)若m=n+1,c=1时,F(x)=h1(x+3)h2(x-2)且函数F(x)的零点均在区间[a,b](a<b,a,b∈Z)内,求b-a的最小值.
答案
x3 |
3 |
x2 |
2 |
x2 |
2 |
x3 |
3 |
h"(x)=1-x+x2>0,所以h1(x)在R上单调增; (2分)
n=2,m=2,f(x)=x+
x3 |
3 |
x2 |
2 |
x4 |
4 |
x2 |
2 |
x3 |
3 |
x4 |
4 |
h2"(x)=-1+x-x2+x3=(x-1)(1+x2),
当x<1时,h2"(x)<0,h2"(x)单调递减;当x>1时,h2"(x)>0,h2"(x)单调递增;
故x=1时,h2"(x)最小值为c-
7 |
12 |
(2)文科:m=n,c=0,
T(n)=h2(1)=-1+
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2n-1 |
1 |
2n |
T(n+1)=h2(1)=-1+
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3 |
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2n-1 |
1 |
2n |
1 |
2n+1 |
1 |
2n+2 |
知T(n+1)<T(n),故n=1时,T(n)最大为-
1 |
2 |
理科:m=n,c=0,T(n)=h1(1)=1-
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2 |
1 |
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2n-1 |
1 |
2n |
①当n=1时,左边T(1)=1-
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1 |
2 |
②假设n=k时成立,则有
T(k)=1-
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2k-1 |
1 |
2k |
T(k+1)=1-
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2k-1 |
1 |
2k |
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2k+1 |
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2k+2 |
=T(k)+
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2k+1 |
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2k+2 |
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k+1 |
1 |
k+2 |
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2k |
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2k+1 |
1 |
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k+1 |
=
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k+2 |
1 |
2k |
1 |
2k+1 |
1 |
2k+2 |
故当n=k+1时也成立.
综上所述,等式成立. (11分)
(3)m=n+1,c=1,h1(x)=1+x-
x2 |
2 |
x3 |
3 |
x2n |
2n |
x2n+1 |
2n+1 |
h
′1 |
=
|
当x≥0时,h
′1 |
′1 |
′1 |
′1 |
1 |
2 |
1 |
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1 |
2n |
1 |
2n+1 |
因而h1(x)在R上唯一零点在区间(-1,0)上,(15分)
于是h1(x+2)的唯一零点在区间(-3,-2)上.
同理可得,函数h2(x)为R上的减函数,于是函数h2(x)在R上最多只有一个零点.
又h2(1)=(1-1)+(
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2 |
1 |
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1 |
2n |
1 |
2n+1 |
h2(2)=(1-2)+22(
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2n |
2 |
2n+1 |
所以,F(x)的两零点落在区间[-3,4]上,b-a的最小值为7. (18分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=x+x33…+x2m-12m-1,g(x)=x22+x44…+x2n2n,定义域为R,m,n∈N•,h1(x)=c+f(x)-g(x),h2(】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
|
|
1 |
3 |
-2x+b |
2x+1+a |
(Ⅰ)求a,b的值
(Ⅱ)判定函数f(x)的单调性,并用定义证明.
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