题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x^2t-2t（x²+x）+x²+2t²+1，g（x）=

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f（x）．
（I）证明：当t＜2

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时，g（x）在R上是增函数；
（Ⅱ）对于给定的闭区间[a，b]，试说明存在实数k，当t＞k时，g（x）在闭区间[a，b]上是减函数；
（Ⅲ）证明：f（x）≥

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．

答案

（I）证明：由题设易得g（x）=e^2x-t（e^x-1）+x，g"（x）=2e^2x-te^x+1．又2ex+e-x≥2

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，且t＜2

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得t＜2e^x+e^-x，
te^x＜2e^2x+1，即g"（x）=2e^2x-te^x+1＞0．由此可知，g（x）在R上是增函数．
（II）因为g"（x）＜0是g（x）为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t＞k时g"（x）=2e^2x-te^x+1＜0，即t＞2e^x+e^-x在闭区间[a，b]上成立即可．因为y=2e^x+e^-x在闭区间[a，b]上连续，故在闭区间[a，b]上有最大值，设其为k，于是在t＞k时，g"（x）＜0在闭区间[a，b]上恒成立，即g（x）在闭区间[a，b]上为减函数．
（III）设F（t）=2t²-2（e^x+x）t+e^2x+x²+1，即F(t)=2(t-

ex+x

2

)2+

1

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(ex-x)2+1
易F(t)≥

1

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(ex-x)2+1，令H（x）=e^x-x，则H"（x）=e^x-1，易知H"（0）=0．当x＞0时，H"（0）＞0；当x＜0时，H"（0）＜0．故当x=0时，H（x）取最小值，H（0）=1．所以

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(ex-x)2+1≥

3

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于是对任意的x，t，都有F(t)≥

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，即f(x)≥

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